供应链优化中的图论

Mohammed Islam Hadjoudj

Expert Operations Research Engineer

1. 为什么供应链是一个图

供应链就是一组地点，加上它们之间的一组移动。供应商发往工厂，工厂发往仓库，仓库发往门店，而关于每一种可能的移动，都有某件事为真或为假：它存在或不存在，每单位成本是多少，需要多少天，每周最多能承运多少。

这段描述本身就是一个图。地点是顶点，移动是有向弧，商业事实是挂在弧上的数字。到这里还没有简化掉任何东西，而模型一旦存在，一个世纪的算法立刻可用：最短路回答“这个到那个有多快”，最大流回答“我们实际能交付多少”，最小成本流回答“最省钱的方案是什么”，连通性回答“这里被烧毁会怎样”。

这不是为了教学而发明的比喻。供应链的数学就是网络优化。Hitchcock 于 1941 年提出运输问题，Koopmans 在 1947 年报告、1949 年发表的工作中独立得到它；Dantzig 于 1951 年用单纯形法求解；Ford 与 Fulkerson 于 1956 年发表最大流算法，并在 1962 年出版了 Flows in Networks 一书，他们的例子是铁路运力和运输计划，而不是抽象的图。把这一切形式化的学科是运筹学，而它的核心对象就是图。

本文要做的，是取一个四级宽的小网络，并在它上面回答每一个标准的供应链问题。下面引用的每个数字都是通过求解模型算出来的，而不是估计的：方案、瓶颈、故障后的缺口，以及每个替代方案的成本。如果你对底层术语还不熟悉，图论入门涵盖了本文默认你已知的定义。

2. 结构解剖：顶点、弧，以及它们上面的数字

建模就是决定保留什么。三个决定承担了大部分分量。

什么是顶点？通常是一个物理地点：一个供应商场地、一家工厂、一个配送中心、一个客户区域。有时更细，比如一条产线或一个装卸门；有时更粗，比如战略研究里的整个国家。规则是：凡是你可能想要开设、关闭、限制产能或失去的东西，就是一个顶点，因为模型要回答的正是这些问题。

什么是弧？一条线路：起点、终点，通常还有运输方式。同样两个设施之间既有公路又有航空，那就是两条弧，而不是一条，因为它们的成本、时间和容量都不同。弧是有向的，因为向东发货和向西发货不是一回事；这个区别及其后果在有向图与无向图中有讨论。

弧上放什么？至少三个数字，而且它们回答不同的问题，所以挂哪一个很重要：

• 容量，以每期的单位数计。它限制什么是可能的，是最大流的输入。
• 成本，按每发运单位计。它决定什么最便宜，是最小成本流的输入。
• 运输时间，以天计。它决定什么最快，是最短路的输入。

初学者常把这些合成一个“权重”，然后奇怪为什么答案看起来不对。它们确实是不同的目标，最便宜的路线往往不是最快的，第 4 节就在这个网络上展示了这一点。关于带权图与无权图的指南在抽象层面讲的是同一件事。

还有两个属性挂在顶点上而不是弧上：供应量在源点，需求量在汇点，有时还有一项固定成本，用于一个设施是否存在本身，而这正是第 7 节里把流问题变成选址问题的原因。

3. 贯穿全文的网络

这个例子刻意做得足够小，可以手工核对，又足够丰富，能以有趣的方式出问题。两个供应商供给两家工厂，工厂供给三个配送中心，中心服务四个客户区域。

十四条线路各自带有容量、单位成本和运输时间，如上图所示。总供应量 180，对应需求 130，所以基准情形下是有余量的；第 5 节会把它拿掉。

在任何算法开始之前，有一个结构性细节很重要。这个网络是一个有向无环图：物料永远只从左向右流动，从供应走向需求。真实的供应链有退货、返工回路和仓库之间的调拨，它们都会产生环，而下面的算法照样有效。但无环的情形是直觉最清晰的情形，也是多数战术计划模型实际所处的位置。

第二个细节是，这是一个单产品、单周期这样的模型。这个假设承担了很多工作，第 12 节会展示解除它的标准图构造。

4. 交付周期：最短路

任何人向网络提出的第一个问题，都是它能多快响应。弧上带有运输时间时，这恰好就是最短路问题，而 Dijkstra 算法能一次性为所有目的地回答它，用时 O(m + n log n)。

从每个供应商出发求解，就得到服务全景：

这张表里有三件事是电子表格不会告诉你的。网络中最差的服务是 9 天，从 S1 到 C3，服务水平协议必须按这个数字来写。两个供应商并不可互换：S1 到 C1 更快，S2 到其他所有地方都更快，这支持按区域而不是按数量做双源采购。而且从 S1 到 C3 最快的路线经过 P2，而不是地理上显而易见的 P1，因为 P1 那条分支每一步都更慢。

现在再和成本比较。从 S1 出发最便宜的线路是 S1 → P1 这条线路每单位 2，而到 C3 最快的路线完全避开了它。最小化天数和最小化金钱，是在同一个图上的两种不同优化，任何只给出一个“最佳路线”的规划工具，都在悄悄替你选定其中之一。哪种算法适用于哪种变体，完整的决策树在最短路算法中。

还有两个实用的扩展值得了解。在每个设施加上固定的操作时间，做法是把延迟放在节点上，而第 12 节会把它变成一条弧。而当问题变成“在花费低于 X 的前提下，最快的路线是什么”，你面对的就是带约束的最短路问题，它一般是 NP 难的，通常用拉格朗日松弛或标号算法求解，而不是直接用 Dijkstra。

5. 容量：最大流与限制你的那个割

第二个问题是网络实际能搬运多少。加一个人工源点，按可用量供给两个供应商，再加一个人工汇点，抽走每个客户的需求，答案就是一次最大流计算。

在基准情形下，答案平平无奇：全部 130 单位都能通过。有意思的是起约束作用的限制在哪里。求解流问题同时会得到最小割，而这里的割恰好由客户弧本身组成。说白了：网络内部没有任何东西在限制任何东西，之所以没有更多单位流动，唯一的原因是没人下更多订单。这是健康的情形，在请谁批准资本支出之前，值得先确认这一点。

现在把每个需求都提高 40%，一个不算夸张的旺季。需求变成 182 单位，而网络只交付 164。

缺少的 18 单位可以精确分解。总供应量是 180，所以有 2 单位根本无法制造，与网络无关。剩下的 16 单位输给了结构，而最小割准确地点出了这个结构： P2 → D3 的容量为 50； D1 → C1 的容量为 30； D2 → C3 的容量为 35，再加上位于源侧的 C2 的 49 单位需求。它们合计 164，最大流最小割定理保证这等于最大流，算术也确认了这一点。

这是图论为供应链所做的最有用的一件事，所以值得直白地说出来。最小割就是投资清单。在其他任何地方增加容量都毫无改变。在这个网络上检验这一说法，得到的结果是任何直觉都想不出来的：

• 在 P2 → D3上多给 10 单位：通过量从 164 升到 174。
• 在 D2 → C3上多给 10 单位：同样是 174。
• 在 D1 → C1上多给 10 单位：通过量升到 165，再无更多。是一单位，不是十单位。
• 在其他十一条线路的任何一条上多给 10 单位：毫无变化。

其中 D1 → C1 这个例子最具启发性。它确实在最小割上，所以第一单位额外容量确有帮助，但此后另一个限制开始起作用，投资就不再有回报。割告诉你今天墙在哪里；它并不保证你把墙推开之后，墙还留在原地。实践中，这就是产能规划要作为一连串重新求解来做，而不是一次排名的原因。

6. 成本：运输问题与最小成本流

可行不等于方案。运营层面的问题是，众多可行方案中哪一个最便宜，而这就是最小成本流问题：满足每一处需求，遵守每一条容量，最小化所有弧上流量乘成本之和。

它的前身是运输问题，由 Hitchcock 于 1941 年提出、Koopmans 独立提出，并由 Dantzig 于 1951 年用专门的单纯形法高效求解。现代的一般形式由网络单纯形法或逐次最短路法求解，而 Ahuja、Magnanti 与 Orlin 的 Network Flows 至今仍是标准论述。

在这个贯穿全文的网络上求解，交付全部 130 单位最便宜的方式花费 1,020，平均每单位 7.85：

这个解有三个特征值得细读，因为正是它们出人意料。

两条线路什么也没运。 S2 → P1 和 P1 → D2 完全可用，只是按这样的价格永远不值得使用。网络图无法告诉你这一点，只有优化能。它也是“我们为什么要花钱维持那条线路”的答案，这个问题每年都值得问一次。

需求被拆分了。 C2 由 D1 供 25 单位、D2 供 10 单位，C3 由 D2 供 35、D3 供 5。让每个客户都由最近的中心供货是一条经验法则，而不是最优解，在这里它会更贵。真实模型常常加入禁止拆分的约束，而这条约束的代价应当被测量，而不是被假定。

答案正好是整数单位。这不是运气。网络流问题的约束矩阵是全幺模的，所以当供应量和需求量都是整数时，线性规划自动具有整数最优解。正因如此，流问题可以当作线性规划来解，得到的答案却直接可以发货；而一旦加入“开或不开”的二元决策，这一点立刻失效，那正是下一节的主题。

7. 到底该有哪些仓库？

到目前为止的一切都把网络当作给定的。战略问题是哪些设施应该存在，而它彻底改变了数学：开一个站点要付固定的一笔钱，无论它发一单位还是一千单位，而固定成本无法表示成弧上的单位成本。

给三个配送中心设定每周固定成本 250、300 和 200，容量 55、75 和 65 单位，以及服务每个客户区域的单位成本。于是问题变成开哪一个子集，而对每个候选子集来说，供货成本本身又是一个运输问题。三个站点共有七个子集，我们干脆把它们全部解一遍。

赢家是 {D2, D3}，855：固定成本 500 加运输 355。从教学角度最要紧的是最后一行。三个中心全开会带来所有配置中最低的运输成本，即 305，因为那样每个客户都能由最便宜的来源供货。但总成本仍差 200，因为第三个站点 250 的固定成本只换来 50 的运输节省。在一个已经建得过大的网络里优化流量，是一种高效地犯错的好办法。

这就是带容量的设施选址问题，与第 4 到 6 节中的一切不同，它是 NP 难的。在三个候选站点上，对八个子集做穷举瞬间可得。三百个就不行了，学界用混合整数规划来解：Balinski 于 1965 年给出了标准模型，Geoffrion 与 Graves 于 1974 年用 Benders 分解求解了一个真实的多商品配送网络设计，现代求解器也能常规处理工业规模的实例。让它在实践中可解的结构，正是这里能看到的那一条：对任何固定的开设站点集合，剩下的问题都是一个可在多项式时间内求解的网络流。一个更完整的例子，包含公路距离、经典选址启发式方法以及服务承诺的代价，见设施选址：下一个仓库该建在哪里。

8. 设计物理网络：生成树

另一个设计问题不是“设施该建在哪里”，而是“该修哪些连接”。铺一条专线、包一班固定班车或修一段铁路专用线，每条连接都有成本，而要求是每个设施都能到达其他所有设施。

这就是最小生成树问题，由 Kruskal 算法求解，用时 O(m log n)。在六个设施上，两家工厂、三个中心和一个共用的越库枢纽，有十一条可选连接，价格在 3 到 10 之间，最便宜的连通设计花费 21 并使用五条连接：P2-H 为 3，P1-D1 为 4，D2-H 为 4，P2-D3 为 5，D1-H 为 5。

六个设施用五条连接并非巧合。一棵有 n 个顶点的树总是恰好有 n - 1 条边，而这正是整套方法的根本取舍：生成树是把一切连起来最便宜的方式，同时也是最脆弱的方式。这五条连接中的每一条都是桥，也就是说失去它网络就断开，而六个设施中有三个是割点。第 11 节会为此给出数字。

实践中的教训是，在多数供应链场景里，最小生成树是为错误目标选对的算法。你通常想要的，是能在失去任意一条连接后仍然连通的最便宜网络，也就是二边连通的网络设计，而那个问题是 NP 难的。最小生成树仍然值得计算，因为它是一个下界：没有任何连通设计能比它更便宜，所以它告诉你即将购买的冗余要花多少钱。

9. 最后一公里：车辆调度

以上一切都在设施之间搬运单位。最后一段把它们送到门口，配送成本中很大一部分正发生在这里，而数学也在这里变难。

给一辆车一组站点，要求最短的回路，恰好访问每个站点一次并返回车场，你得到的就是旅行商问题。给一支有容量的车队，问哪辆车服务哪些站点，你得到的就是车辆路径问题，由 Dantzig 与 Ramser 在 1959 年以“the truck dispatching problem”之名提出，此后不断推广到时间窗、混合车队、取送货和驾驶时长等情形。

与第 4 到 6 节的差别是性质上的，而不是程度上的。最短路、最大流和最小成本流都是多项式的：现代求解器处理一张洲际公路网只需不到一秒。TSP 和 VRP 是 NP 难的，经过 n 个站点的可能回路数是 (n-1)!/2，在仅仅 20 个站点时就超过 6 京。所以实践依靠启发式算法：Clarke 与 Wright 在 1964 年提出的节约算法至今仍是标准的构造方法，2-opt 和 Or-opt 这类局部搜索改进结果，而大邻域搜索等元启发式驱动着商用引擎。精确方法也有了巨大进步，如今数百个客户的实例已能被证明最优地求解，但每天的派车之所以用启发式，是因为必须在几分钟内给出答案。

值得带走的建模要点是：路径层位于流量层之上。流量模型决定 D3 向 C4 区域发运 30 单位；路径模型决定 C4 内部各个门点的顺序，以及由哪辆卡车来跑。把两者联合优化是可能的，集成计划系统正是这样尝试的，但两段式拆分是惯例，因为每一段难的原因不同。关于路径层从头到尾的完整推演以及车队成本的核算，见配送路线优化。

10. 工厂内部：物料与排程

把镜头拉近到一家工厂，图并不会消失。有两个图在管理这家工厂，而且都是有向无环图，都由一次拓扑顺序的扫描给出答案。

第一个是物料清单。一个产品由部件组成，每个部件又由部件组成，弧上带有数量。把一张客户订单展开成原材料需求，就是自上而下走这张图，一路相乘。这正是物料需求计划所做的事，由 Orlicky 在 1975 年形式化，至今仍是每套 ERP 系统的核心循环。

对于 100 单位产品 A 的订单，展开结果是 200 个 B、100 个 C、600 个 D、 500 个 E 和 400 个 F。部件 E 值得停下来看看：它出现在两个不同的父节点之下，所以它的需求是经由 B 的 2 × 2 加上经由 C 的 1 × 1 个，也就是每单位 A 需要 5 个。把各分支独立相加，正是幼稚的电子表格所做的事，会恰好在这些共用部件上算多或算少。按拓扑顺序处理各个物料，保证每个父节点在被读取子节点之前已经确定，这也是一次扫描就正确的原因。

第二个图是排程。任务有工期和先后约束，而项目长度就是所得 DAG 中的最长路径。在图中这份七项任务的计划里，总工期是 25 天，沿着采购、加工、喷涂、装配、测试和包装。这条链就是关键路径，来自 Kelley 与 Walker 1959 年的方法，它的实际含义很锋利：链上任何延误都会一比一地推迟订单，而组件有 7 天浮动时间，整整晚一周完成也不会让交付日期挪动一个小时。

请注意让这一点变得有价值的不对称性。最长路径在一般图上是 NP 难的，在 DAG 上却是线性的，所以排程之所以便宜，正是因为先后约束不可能形成环。若真形成了环，计划就是不可行的，而同一个算法也能检测出来。把客户订单在机器上逐台排序，考虑交期、换色和加班，完整推演见面向制造企业的生产排程。

11. 韧性：什么会断，断得多严重

成本模型告诉你一切正常时该怎么做。韧性模型告诉你不正常时会发生什么，而它是同一个图上的另一个问题：删掉一个顶点，重新求解流量，读出缺口。

失去任何单个设施，网络仍能交付 130 单位中的 90 到 100 单位。最坏的情况是 P2，只剩 90 单位，缺口达 31%，这个结果最好与第 6 节对照着读。最省钱的方案把 70 单位经由 S2 → P2 运出，经过 P2 的总量是 80 单位，因为 P2 位于最便宜的那些线路上。成本优化会把流量集中，而集中的流量恰恰就是脆弱性的样子。最优解和风险，来自网络的同一个性质。

单条线路同样重要，而且重要程度并不相同。最糟的单条线路是 P2 → D3，失去它要损失 35 单位； P1 → D1 和 D3 → C4 各损失 30； D2 → C3 损失 20；而 S1 → P1, D1 → C2 或 D3 → C3 只损失 5。按线路运量来给风险缓解支出排序会弄错这个次序，因为运量是方案选择去运的东西，而不是网络会失去的东西。

第 8 节的结构视角用另一种语言说的是同一件事。在最小生成树中，每条连接都是桥，若干设施是割点，所以成本最优的物理网络在构造上就完全没有冗余。冗余就是生成树删掉的那些环。购买韧性，意味着刻意购买成本模型会拒绝的边。

这里有两条研究线索值得点名。Sheffi 的 The Resilient Enterprise 一书（2005 年）论证了灵活性是一种战略资产，而不是浪费。而 Simchi-Levi 及其同事与福特合作，提出风险应当用恢复时间及其带来的利润影响来衡量，而不是用中断的概率来衡量，因为后者无从得知：他们 2015 年的研究发现，风险敞口最大的零件常常是来自单一供应商的低价值部件，任何基于采购金额的分析都永远不会把它们标出来。这是一个图论问题，也正是本节所计算的问题。

12. 两个值得知道的建模技巧

有两种构造能把“模型表达不了那个”变成“模型完全能表达那个”，两者合起来覆盖了初学者最先遇到的大部分情况。

拆点，用来给设施加容量。流算法把容量放在弧上，但仓库本身也有处理上限。解决办法是把这个顶点替换成两个：一个接收所有入弧的“入”副本，一个发出所有出弧的“出”副本，以及两者之间承载该设施容量的一条弧。

之前：        --> [ D2 ] -->

之后：         --> [D2_in] --(容量 75，成本 = 操作费)--> [D2_out] -->

同样的技巧也能承载操作成本或固定的处理延迟，第 4 节的交付周期正是这样把花在建筑内部而不是路上的时间吸收进来。它使顶点数翻倍，其余什么都不改变，本文中的每个流算法之后都能原样运行。

时间展开，用来处理库存。单周期模型没有记忆：生产出来的东西必须立刻发运。真实的供应链会持有库存，而库存是穿越时间而不是空间的移动。为每个周期构建一份网络副本，并从周期 t 的每个设施，向周期 t+1的同一设施添加一条弧。这条弧上的流量就是库存，它的成本是持有成本，它的容量是仓储上限。该持有多少、放在哪里，本身又是一个优化问题，见我们关于库存优化与安全库存的指南。

这样得到的结果称为时间展开网络，而这正是多周期生产计划之所以可解的原因：一个看起来需要新理论的问题，结果不过是一个规模大 T 倍的图上的普通最小成本流。同样的构造也能处理保质期，只要不去构建那条会把库存带过有效期的弧即可。

这两个技巧共享一条值得内化的道理。当供应链的某个特性看起来需要新算法时，它通常需要的是一个新的图，而你已经拥有的算法随后就能原样适用。

13. 什么容易，什么困难

计划人员对自己模型能知道的最有价值的事，就是它落在可解性分界线的哪一侧，因为这决定了答案是一个最优解还是一次不错的猜测。

这个规律很干净，值得说明白：关于流量的问题是容易的，关于该建造哪些离散对象的问题是困难的。一旦某个决定从“多少”变成“是或否”，全幺模性就失去了，线性规划不再自动给出整数答案，你就进入了混合整数规划。

困难不等于无望。含数百个候选站点的选址实例每天都能被证明最优地求解，而车辆路径的启发式方法在远超精确方法能力的实例上，也能落在已知最优解的百分之几以内。这条分界线改变的是承诺：在表格的上半部分你可以说“这是最优的”，在下半部分诚实的说法是“这是我们找到的最好结果，这里是它的界”。关于这些代价本身更完整的论述，见图算法与复杂度。

14. 从模型到实践

一个正确的模型与一个有用的模型之间的差距，主要不是数学。有四件事决定这项工作能否落地。

数据就是项目本身。线路成本、容量和运输时间散落在运输管理系统、合同和电子表格里，而且彼此矛盾。建立在十八个月前成本表上的模型，会给出一个自信、精确而错误的答案，然后失败会被归咎于优化。请把大部分精力预算在这里。

有意识地选择粒度。一项战略性网络研究可以把整个区域当作一个客户顶点；每周的派车模型不行。把需求聚合是合理的，把容量聚合通常不合理，因为平均值恰好掩盖了制造第 5 节那个瓶颈的高峰。

使用真正的求解器。对于流量问题，NetworkX 和 SciPy 都自带最小成本流，而 Google OR-Tools 以面向实践者的接口覆盖了流量、路径和排程。对于任何含二元决策的问题，Gurobi、CPLEX 这类商用求解器，或 HiGHS 和 CBC 这类开源求解器，才是合适的工具。自己写一个网络单纯形法，是很好的学习方式，却是很糟的交付方式。

对真正会变化的东西建模。确定性模型回答的是“如果下周正好是这样，什么最好”。需求从来不会正好是任何样子，而这里的经典失败模式并不是算法上的：Forrester 在 1958 年描述了订货政策如何把波动向上游放大，Lee、Padmanabhan 与 Whang 在 1997 年把它命名为牛鞭效应。再怎么优化单独一周的流量也无法解决它。常规的应对是情景分析、随机优化或鲁棒优化，以及随着现实到来不断重算的滚动周期。

最后一个习惯，也是本文中的数字想要示范的：重新求解，而不是凭推理下结论。说某条线路是关键的、某个站点值回它的固定成本、某笔产能投资能回本，这些说法模型在几毫秒内就能定夺，而人对网络的直觉恰恰在最要紧的那些情形下不可靠。第 5 节就找到了一条线路，在它上面多给十单位容量只换来一单位通过量。这没人猜得到。

15. 会给出自信却错误答案的建模错误

网络模型很少大声失败。它给出一个方案，方案看起来合理，而错误只有知道该看哪里的人才能发现。以下是反复出现的那些。

• 把设施的容量放到它的某一条弧上。一个每周能处理 75 单位的仓库，和一条能承运 75 单位的线路不是一回事，把这个限制硬塞到看起来最繁忙的那条弧上，会悄悄允许比现实更多或更少的通过量。请像第 12 节那样拆点。
• 用一个数字当作弧的权重。成本、时间和容量回答不同的问题，只携带其中之一的模型，会在你要最快方案时自信地返回最便宜的方案。在这个网络上，这两个答案确实不同。
• 用单周期模型回答多周期问题。没有库存弧，生产出来的一切都必须立刻发运，于是模型要么把可行的方案判为不可行，要么凭空造出并不存在的产能。请改用时间展开的网络。
• 把容量和需求一起聚合。把四周的需求平均成一周往往说得过去；把容量平均则不行，因为平均值恰好掩盖了制造瓶颈的那个高峰。第 5 节里 40% 的高峰，在按月平均之后会完全消失。
• 在没有服务约束的情况下优化成本。纯粹的成本目标会心安理得地把一切都走最慢的便宜线路。交付周期必须以约束或惩罚项的形式进入模型，否则得到的最优解没人能执行。
• 按运量给风险排序。最繁忙的线路是方案选出来的，而这与失去后最痛的那条并不是一回事。请去掉每个候选对象重新求解，按缺口排序，这正是第 11 节所做的，也正是它给出不同次序的原因。
• 把整车运费按单位成本计价。运费常常是阶梯函数：半空卡车上的第二个托盘几乎免费，新开一辆卡车上的第一个托盘则不然。线性的单位成本会把这一点抹平，并系统性地低估拼车整合。阶梯成本需要二元变量，这会把模型推入混合整数规划。
• 忘了弧的清单本身就是一个建模选择。优化器只能选择数据中存在的线路。没有人录入的线路，就是永远不会出现在答案里的线路，而“模型说我们不该走那条路线”往往只是“没人告诉模型这条路线存在”。

共同点在于，这八种错误都会产出看似合理的结果。防御办法是拿一段你已经经历过的时期来检验模型：如果它不能在合理误差内复现上个季度的实际流量，它就还没准备好为下个季度提建议。

17. 参考文献

奠基性论文与标准著作，按时间顺序排列。

1. Hitchcock, F. L. (1941). “The distribution of a product from several sources to numerous localities.” Journal of Mathematics and Physics, 20(1–4), 224–230.
2. Koopmans, T. C. (1949). “Optimum utilization of the transportation system.” Econometrica, 17 (Supplement), 136–146.
3. Dantzig, G. B. (1951). “Application of the simplex method to a transportation problem.” In T. C. Koopmans (ed.), Activity Analysis of Production and Allocation, 359–373. New York: Wiley.
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6. Dantzig, G. B. and Ramser, J. H. (1959). “The truck dispatching problem.” Management Science, 6(1), 80–91.
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8. Ford, L. R. and Fulkerson, D. R. (1962). Flows in Networks. Princeton: Princeton University Press.
9. Clarke, G. and Wright, J. W. (1964). “Scheduling of vehicles from a central depot to a number of delivery points.” Operations Research, 12(4), 568–581.
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11. Geoffrion, A. M. and Graves, G. W. (1974). “Multicommodity distribution system design by Benders decomposition.” Management Science, 20(5), 822–844.
12. Orlicky, J. (1975). Material Requirements Planning. New York: McGraw-Hill.
13. Ahuja, R. K., Magnanti, T. L. and Orlin, J. B. (1993). Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications. Englewood Cliffs: Prentice Hall.
14. Lee, H. L., Padmanabhan, V. and Whang, S. (1997). “Information distortion in a supply chain: the bullwhip effect.” Management Science, 43(4), 546–558.
15. Sheffi, Y. (2005). The Resilient Enterprise: Overcoming Vulnerability for Competitive Advantage. Cambridge, Massachusetts: MIT Press.
16. Toth, P. and Vigo, D. (eds.) (2014). Vehicle Routing: Problems, Methods, and Applications, 第 2 版. Philadelphia: SIAM.
17. Simchi-Levi, D., Schmidt, W., Wei, Y., Zhang, P. Y., Combs, K., Ge, Y., Gusikhin, O., Sanders, M. and Zhang, D. (2015). “Identifying risks and mitigating disruptions in the automotive supply chain.” Interfaces, 45(5), 375–390.
18. Chopra, S. and Meindl, P. (2015). Supply Chain Management: Strategy, Planning, and Operation, 第 6 版. Boston: Pearson.