PERT Rechner

Pseudocode

PERT ist CPM mit angehängter Unsicherheit. Jeder Vorgang erhält drei Schätzungen statt einer, die vor der üblichen Netzanalyse zu einem Mittelwert und einer Varianz verdichtet werden.

// Je Vorgang, aus optimistisch o, wahrscheinlichst m,
// pessimistisch p (Näherung einer Betaverteilung):
te[a]  = (o + 4m + p) / 6          // erwartete Dauer
var[a] = ((p - o) / 6)^2           // Varianz

// Danach CPM mit te als Dauer ausführen
Vorwärts- und Rückwärtsdurchlauf mit te rechnen
kritischer Pfad = Vorgänge mit Puffer null

// Unsicherheit auf Projektebene
E[T]   = Summe der te über den kritischen Pfad
Var[T] = Summe der var über den kritischen Pfad
z = (Ziel - E[T]) / wurzel(Var[T])
P(Ende <= Ziel) = normalCDF(z)

Das Gewicht 4 auf dem wahrscheinlichsten Wert stammt aus der Näherung einer Betaverteilung, die schief und nicht symmetrisch ist, weshalb die erwartete Dauer im Allgemeinen nicht der wahrscheinlichsten entspricht. Das Aufsummieren der Varianzen entlang des Pfades stützt sich auf den zentralen Grenzwertsatz und auf die Annahme unabhängiger Vorgangsdauern, und genau diese Annahme wird in realen Projekten am ehesten verletzt.

Durchgerechnetes Beispiel, Schritt für Schritt

Wende PERT auf dasselbe Vierervorgangsprojekt an wie bei CPM, nun mit Dreipunktschätzungen statt fester Dauern.

Beispielgraph: Vorgänge mit optimistischer, wahrscheinlichster und pessimistischer Schätzung: A (2, 3, 4), B (1, 2, 3), C (2, 4, 6), D (1, 2, 3). Abhängigkeiten wie zuvor: A und B gehen C voraus, C geht D voraus.

1. Erwartete Dauern berechnen. A ergibt (2 + 12 + 4) / 6 = 3. B ergibt (1 + 8 + 3) / 6 = 2. C ergibt (2 + 16 + 6) / 6 = 4. D ergibt (1 + 8 + 3) / 6 = 2. Sie stimmen mit den festen Dauern des CPM-Beispiels überein, die Netzanalyse ist also identisch.
2. Varianzen berechnen. A hat ((4 - 2) / 6) zum Quadrat = 0,111. B ebenfalls 0,111. C hat ((6 - 2) / 6) zum Quadrat = 0,444, viermal so viel, weil seine Schätzspanne doppelt so breit ist. D hat 0,111.
3. Die Netzanalyse ausführen. Mit den erwarteten Dauern lautet der kritische Pfad A nach C nach D mit einer erwarteten Projektdauer von 3 + 4 + 2 = 9 Tagen, genau wie bei CPM.
4. Varianz entlang des kritischen Pfades summieren. Die Varianz summiert sich zu 0,111 + 0,444 + 0,111 = 0,667, die Standardabweichung ist also die Wurzel daraus, rund 0,82 Tage. Beachte, dass C allein zwei Drittel der gesamten Unsicherheit beisteuert.
5. Eine Wahrscheinlichkeitsfrage beantworten. Für ein Ziel von 10 Tagen ist z = (10 - 9) / 0,82 = 1,22, und die Normalverteilungsfunktion bei 1,22 liegt bei etwa 0,89. Es besteht also rund 89 Prozent Wahrscheinlichkeit, innerhalb von 10 Tagen fertig zu werden.

Die erwartete Dauer beträgt 9 Tage bei einer Standardabweichung von etwa 0,82, was rund 89 Prozent Zuversicht für einen Abschluss bis Tag 10 ergibt. Die handlungsleitende Erkenntnis ist, dass Vorgang C das Risiko dominiert: er steuert zwei Drittel der Varianz bei, das Verengen seiner Schätzspanne bringt für die Termintreue also mehr als jede Arbeit an A, B oder D. CPM allein hätte dir gesagt, dass C kritisch ist, aber nicht, dass dort die Unsicherheit sitzt.

Komplexität und woher sie kommt

Zeit: O(V + E) · Speicher: O(V)

Erwartete Dauer und Varianz je Vorgang zu berechnen ist konstanter Aufwand je Vorgang, also O(V). Die Netzanalyse ist dieselbe topologische Sortierung plus zwei Durchläufe wie bei CPM, mit O(V + E). Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist eine einzelne Auswertung der Normalverteilungsfunktion in konstanter Zeit. PERT kostet also asymptotisch dasselbe wie CPM und fügt nur einen kleinen konstanten Faktor hinzu. Der eigentliche Aufwand bei PERT ist nicht rechnerisch, sondern die Mühe, je Vorgang drei belastbare Schätzungen statt einer zu erheben.

Wann PERT (Program Evaluation and Review Technique) passt und wann nicht

PERT liegt zwischen deterministischer Planung und vollständiger Simulation. Wie viel Strenge du brauchst, entscheidet über die Wahl.

Häufige Fehler

• Varianzen nur entlang eines kritischen Pfades summieren. Das ist die bekannteste Schwäche von PERT. Hat ein fast kritischer Pfad hohe Varianz, kann er nach Realisierung der Dauern leicht zum tatsächlich längsten werden, die wahre Projektvarianz ist also größer als die von PERT ausgewiesene. PERT ist damit systematisch zu optimistisch bezüglich der Termintreue. Die Monte-Carlo-Simulation hat diesen Mangel nicht.
• Die erwartete Dauer mit der wahrscheinlichsten verwechseln. Die Betanäherung ist schief, te weicht also im Allgemeinen von m ab. Bei Schätzungen 2, 3 und 10 ist der wahrscheinlichste Wert 3, die erwartete Dauer aber 4. Den Modus als Mittelwert auszuweisen unterschätzt den Terminplan.
• Unabhängige Vorgangsdauern annehmen. Varianzen addieren sich nur bei Unabhängigkeit. In der Praxis verzögert eine einzige Ursache, das Ausscheiden einer Schlüsselperson oder der Ausfall eines Lieferanten, mehrere Vorgänge zugleich, und korrelierte Verzögerungen machen die reale Varianz weit größer als die Summe.
• Die Normalnäherung auf kurze Pfade anwenden. Der zentrale Grenzwertsatz braucht genügend Vorgänge, um glaubwürdig zu sein. Auf einem kritischen Pfad aus zwei oder drei Vorgängen ist die Normalannahme wackelig und die resultierenden Wahrscheinlichkeiten sollten als Anhaltspunkt und nicht als präzise gelten.
• Drei Schätzungen erheben, die keine unabhängigen Urteile sind. Werden optimistischer und pessimistischer Wert mechanisch als wahrscheinlichster Wert plus und minus einem festen Prozentsatz erzeugt, trägt die Varianz keinerlei Information und PERT verkommt zu CPM mit zusätzlicher Arithmetik.

Häufig gestellte Fragen

Was ist PERT?

Die Program Evaluation and Review Technique ist eine Methode der Projektplanung für unsichere Vorgangsdauern. Jeder Vorgang erhält eine optimistische, eine wahrscheinlichste und eine pessimistische Schätzung, die zu einer erwarteten Dauer und einer Varianz kombiniert werden. Anschließend wird das Netz wie bei CPM analysiert, und die Varianzen liefern die Wahrscheinlichkeit für einen Zieltermin.

Wie lautet die PERT-Formel?

Die erwartete Dauer ist (o + 4m + p) geteilt durch 6, wobei o optimistisch, m wahrscheinlichst und p pessimistisch ist. Die Varianz ist ((p - o) / 6) zum Quadrat. Das Gewicht 4 auf dem wahrscheinlichsten Wert stammt aus der Näherung einer Betaverteilung, die schief ist, weshalb die erwartete Dauer meist von der wahrscheinlichsten abweicht.

Was ist der Unterschied zwischen PERT und CPM?

CPM nutzt eine feste Dauer je Vorgang und bestimmt kritischen Pfad und Puffer. PERT nutzt drei Schätzungen je Vorgang, um eine erwartete Dauer und eine Varianz zu erzeugen, womit sich sagen lässt, wie wahrscheinlich ein Zieltermin ist. Die Netzanalyse ist identisch; PERT speist sie lediglich mit erwarteten Dauern und führt die Unsicherheit nebenher mit.

Wie berechnet man in PERT die Wahrscheinlichkeit, rechtzeitig fertig zu werden?

Summiere die erwarteten Dauern entlang des kritischen Pfades zur erwarteten Projektdauer und die Varianzen entlang desselben Pfades zur Projektvarianz. Berechne dann z als Zieltermin minus erwartete Dauer, geteilt durch die Standardabweichung, und lies die Normalverteilungsfunktion bei z ab. Im obigen Beispiel ergibt ein Ziel von 10 Tagen bei erwarteten 9 Tagen und Standardabweichung 0,82 rund 89 Prozent.

Was sind die wichtigsten Grenzen von PERT?

Es summiert die Varianz entlang eines einzigen kritischen Pfades, ein fast kritischer Pfad mit hoher Varianz bleibt also unberücksichtigt und die Zuversicht wird systematisch überschätzt. Es setzt unabhängige Vorgangsdauern voraus, was korrelierte reale Verzögerungen verletzen. Zudem stützt es sich auf eine Normalnäherung, die bei wenigen Vorgängen auf dem kritischen Pfad schwach ist. Die Monte-Carlo-Simulation adressiert alle drei Punkte.