PERT计算器

伪代码

PERT 就是把不确定性接到 CPM 上。每项活动得到三个估计值而不是一个，它们先被浓缩成一个均值和一个方差，然后再执行常规的网络分析。

// 每项活动，由乐观 o、最可能 m、
// 悲观 p 得到（Beta 分布的近似）：
te[a]  = (o + 4m + p) / 6          // 期望工期
var[a] = ((p - o) / 6)^2           // 方差

// 然后以 te 作为工期执行 CPM
用 te 跑正向与反向扫描
关键路径 = 时差为零的活动

// 项目层面的不确定性
E[T]   = 关键路径上 te 之和
Var[T] = 关键路径上 var 之和
z = (目标 - E[T]) / 根号(Var[T])
P(完工 <= 目标) = normalCDF(z)

最可能值上的权重 4 来自对 Beta 分布的近似，而该分布是偏斜的而非对称的，因此期望工期通常并不等于最可能工期。沿路径把方差相加依赖于中心极限定理，也依赖于「各活动工期相互独立」这一假设，而这恰恰是真实项目中最容易被违背的一条。

分步示例演算

把 PERT 用在与 CPM 相同的四活动项目上，只是现在改用三点估计而不是固定工期。

示例图: 各活动的乐观、最可能与悲观估计：A（2, 3, 4）、B（1, 2, 3）、C（2, 4, 6）、D（1, 2, 3）。依赖关系同前：A 与 B 先于 C，C 先于 D。

1. 计算期望工期. A 得 (2 + 12 + 4) / 6 = 3。B 得 (1 + 8 + 3) / 6 = 2。C 得 (2 + 16 + 6) / 6 = 4。D 得 (1 + 8 + 3) / 6 = 2。它们与 CPM 例子中使用的固定工期一致，因此网络分析完全相同。
2. 计算方差. A 为 ((4 - 2) / 6) 的平方 = 0.111。B 同样是 0.111。C 为 ((6 - 2) / 6) 的平方 = 0.444，是前者的四倍，因为它的估计区间宽了一倍。D 为 0.111。
3. 执行网络分析. 用期望工期计算，关键路径是 A 到 C 到 D，期望项目工期为 3 + 4 + 2 = 9 天，与 CPM 完全一致。
4. 沿关键路径累加方差. 方差合计为 0.111 + 0.444 + 0.111 = 0.667，因此标准差是它的平方根，约 0.82 天。请注意 C 一项就贡献了全部不确定性的三分之二。
5. 回答一个概率问题. 对于 10 天这个目标，z = (10 - 9) / 0.82 = 1.22，而标准正态分布函数在 1.22 处约为 0.89。因此在 10 天内完工的概率大约是 89%。

期望工期为 9 天，标准差约 0.82，因此在第 10 天之前完工的把握大约是 89%。可付诸行动的结论是：活动 C 主导着风险，它贡献了三分之二的方差，因此收窄 C 的估计区间对提升进度把握的作用，胜过在 A、B 或 D 上做的任何工作。单靠 CPM 只能告诉你 C 是关键活动，却无法告诉你不确定性正藏在那里。

复杂度及其来源

时间: O(V + E) · 空间: O(V)

为每项活动计算期望工期和方差是每项常数级的工作，即 O(V)。网络分析与 CPM 一样是一次拓扑排序加两趟扫描，为 O(V + E)。概率计算只是对正态分布函数求一次值，是常数时间。因此 PERT 在渐进意义上与 CPM 代价相同，只多出一个很小的常数因子。PERT 真正的成本不在计算上，而在于为每项活动收集三个站得住脚的估计值，而不是一个。

何时使用计划评审技术 (PERT)，何时不宜

PERT 处在确定性排期与完整仿真之间。你需要多大的严谨程度，决定了该选哪一个。

常见陷阱

• 只沿一条关键路径累加方差. 这是 PERT 最广为人知的弱点。当某条接近关键的路径方差很大时，一旦工期实际落定，它很容易变成真正最长的路径，因此项目的真实方差比 PERT 报出来的更大。于是 PERT 对进度把握的估计系统性地偏乐观。蒙特卡洛仿真没有这个毛病。
• 把期望工期当成最可能工期. Beta 近似是偏斜的，因此 te 通常不等于 m。若估计值为 2、3 和 10，最可能值是 3，而期望工期却是 4。把众数当作均值来汇报会低估进度。
• 假定各活动工期相互独立. 只有在相互独立时方差才能相加。实际中一个单一原因，比如关键人员离职或供应商出问题，会同时拖慢好几项活动，而这种相关的延误会使真实方差远大于各项之和。
• 把正态近似用在很短的路径上. 中心极限定理需要足够多的活动才可信。在只有两三项活动的关键路径上，正态假设相当脆弱，由此得到的概率应当当作参考而不是精确值。
• 收集到的三个估计并非独立判断. 如果乐观值与悲观值只是机械地取最可能值加减一个固定百分比，那么方差就不携带任何真实信息，PERT 也就退化成了多做一些算术的 CPM。

常见问题

什么是 PERT？

计划评审技术是一种处理工期不确定性的项目排期方法。每项活动给出乐观、最可能与悲观三个估计，它们被合成一个期望工期和一个方差。随后像 CPM 那样分析网络，而这些方差则给出在目标日期完工的概率。

PERT 的公式是什么？

期望工期为 (o + 4m + p) 除以 6，其中 o 是乐观、m 是最可能、p 是悲观。方差为 ((p - o) / 6) 的平方。最可能值上的权重 4 来自对 Beta 分布的近似，而该分布是偏斜的，因此期望工期通常与最可能工期并不相同。

PERT 与 CPM 有什么区别？

CPM 为每项活动使用固定工期，用来确定关键路径和时差。PERT 为每项活动使用三个估计以给出期望工期和方差，从而能说明某个目标完工日期有多大可能。网络分析本身完全一致；PERT 只是把期望工期喂给它，同时把不确定性一并带着走。

在 PERT 中如何计算按时完工的概率？

把关键路径上的期望工期相加得到项目期望工期，再把同一条路径上的方差相加得到项目方差。然后用目标日期减去期望工期、除以标准差算出 z，最后查标准正态分布函数在 z 处的值。在上面的例子中，期望 9 天、标准差 0.82、目标 10 天，结果约为 89%。

PERT 的主要局限有哪些？

它只沿一条关键路径累加方差，因此方差很大的接近关键路径被忽略，把握程度被系统性高估。它假定各活动工期相互独立，而现实中相关的延误会违背这一点。它还依赖正态近似，当关键路径上活动很少时这一近似相当脆弱。蒙特卡洛仿真能同时应对这三点。