Calculateur PERT

Pseudocode

PERT, c'est CPM avec l'incertitude greffée. Chaque activité reçoit trois estimations au lieu d'une, condensées en une moyenne et une variance avant l'analyse de réseau habituelle.

// Par activite, a partir de optimiste o, plus probable m,
// pessimiste p (approximation d une loi Beta):
te[a]  = (o + 4m + p) / 6          // duree esperee
var[a] = ((p - o) / 6)^2           // variance

// Puis executer CPM en utilisant te comme duree
lancer les balayages avant et arriere avec te
chemin critique = activites de marge nulle

// Incertitude au niveau du projet
E[T]   = somme des te sur le chemin critique
Var[T] = somme des var sur le chemin critique
z = (cible - E[T]) / racine(Var[T])
P(fin <= cible) = normalCDF(z)

Le poids de 4 sur la valeur la plus probable vient de l'approximation d'une loi Beta, qui est asymétrique et non symétrique, si bien que la durée espérée ne coïncide généralement pas avec la plus probable. Sommer les variances le long du chemin repose sur le théorème central limite et sur l'hypothèse d'indépendance des durées, et c'est précisément l'hypothèse la plus susceptible d'être violée dans un projet réel.

Exemple détaillé, étape par étape

Applique PERT au même projet de quatre activités que pour CPM, désormais avec des estimations à trois points au lieu de durées fixes.

Graphe d'exemple: Activités avec estimations optimiste, la plus probable et pessimiste: A (2, 3, 4), B (1, 2, 3), C (2, 4, 6), D (1, 2, 3). Dépendances comme avant: A et B précèdent C, et C précède D.

1. Calculer les durées espérées. A donne (2 + 12 + 4) / 6 = 3. B donne (1 + 8 + 3) / 6 = 2. C donne (2 + 16 + 6) / 6 = 4. D donne (1 + 8 + 3) / 6 = 2. Elles correspondent aux durées fixes de l'exemple CPM, l'analyse de réseau est donc identique.
2. Calculer les variances. A donne ((4 - 2) / 6) au carré = 0,111. B donne également 0,111. C donne ((6 - 2) / 6) au carré = 0,444, quatre fois plus, car son intervalle d'estimation est deux fois plus large. D donne 0,111.
3. Lancer l analyse de réseau. Avec les durées espérées, le chemin critique est A vers C vers D pour une durée de projet espérée de 3 + 4 + 2 = 9 jours, exactement comme dans CPM.
4. Sommer la variance le long du chemin critique. La variance totalise 0,111 + 0,444 + 0,111 = 0,667, l'écart type est donc sa racine carrée, environ 0,82 jour. Note que C contribue à elle seule aux deux tiers de toute l'incertitude.
5. Répondre à une question de probabilité. Pour une cible de 10 jours, z = (10 - 9) / 0,82 = 1,22, et la fonction de répartition normale en 1,22 vaut environ 0,89. Il y a donc à peu près 89 pour cent de chances de terminer en 10 jours.

La durée espérée est de 9 jours avec un écart type d'environ 0,82, ce qui donne à peu près 89 pour cent de confiance pour un achèvement d'ici le jour 10. L'enseignement actionnable est que l'activité C domine le risque: elle apporte les deux tiers de la variance, resserrer son intervalle d'estimation fait donc davantage pour la confiance dans le calendrier que tout travail sur A, B ou D. CPM seul t'aurait dit que C est critique, mais pas que c'est là que réside l'incertitude.

Complexité et son origine

Temps: O(V + E) · Espace: O(V)

Calculer la durée espérée et la variance de chaque activité est un travail constant par activité, soit O(V). L'analyse de réseau est le même tri topologique plus deux balayages que dans CPM, en O(V + E). Le calcul de probabilité est une unique évaluation de la loi normale, en temps constant. PERT coûte donc asymptotiquement autant que CPM et n'ajoute qu'un petit facteur constant. Le véritable coût de PERT n'est pas computationnel, c'est l'effort d'obtenir trois estimations défendables par activité au lieu d'une.

Quand utiliser PERT (Technique d'Évaluation et de Revue de Programme), et quand l'éviter

PERT se situe entre l'ordonnancement déterministe et la simulation complète. Le degré de rigueur nécessaire décide du choix.

Pièges fréquents

• Sommer les variances le long d un seul chemin critique. C'est la faiblesse la plus connue de PERT. Lorsqu'un chemin quasi critique présente une forte variance, il peut aisément devenir le plus long une fois les durées réalisées, si bien que la variance réelle du projet dépasse celle annoncée par PERT. PERT est donc systématiquement optimiste quant à la confiance dans le calendrier. La simulation de Monte-Carlo n'a pas ce défaut.
• Prendre la durée espérée pour la plus probable. L'approximation Beta est asymétrique, te diffère donc généralement de m. Avec des estimations de 2, 3 et 10, la valeur la plus probable est 3 mais la durée espérée vaut 4. Annoncer le mode comme s'il s'agissait de la moyenne sous-estime le calendrier.
• Supposer les durées indépendantes. Les variances ne s'additionnent que si les durées sont indépendantes. En pratique une cause unique, le départ d'une personne clé ou la défaillance d'un fournisseur, retarde plusieurs activités à la fois, et les retards corrélés rendent la variance réelle bien supérieure à la somme.
• Appliquer l approximation normale à des chemins courts. Le théorème central limite exige suffisamment d'activités pour être crédible. Sur un chemin critique de deux ou trois activités, l'hypothèse de normalité est fragile et les probabilités obtenues devraient être considérées comme indicatives et non précises.
• Recueillir trois estimations qui ne sont pas des jugements indépendants. Si les valeurs optimiste et pessimiste sont produites mécaniquement comme la plus probable plus et moins un pourcentage fixe, la variance ne porte aucune information et PERT dégénère en CPM avec de l'arithmétique en plus.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que PERT?

La Program Evaluation and Review Technique est une méthode d'ordonnancement de projet qui gère des durées incertaines. Chaque activité reçoit une estimation optimiste, une plus probable et une pessimiste, combinées en une durée espérée et une variance. Le réseau est ensuite analysé comme dans CPM, et les variances donnent la probabilité de terminer à une date cible.

Quelle est la formule de PERT?

La durée espérée vaut (o + 4m + p) divisé par 6, où o est optimiste, m la plus probable et p pessimiste. La variance vaut ((p - o) / 6) au carré. Le poids de 4 sur la valeur la plus probable vient de l'approximation d'une loi Beta, qui est asymétrique, si bien que la durée espérée diffère généralement de la plus probable.

Quelle est la différence entre PERT et CPM?

CPM utilise une durée fixe par activité et identifie le chemin critique et les marges. PERT utilise trois estimations par activité pour produire une durée espérée et une variance, ce qui permet de dire à quel point une date cible est probable. L'analyse de réseau est identique; PERT l'alimente simplement avec des durées espérées et transporte l'incertitude en parallèle.

Comment calcule-t-on la probabilité de finir à temps avec PERT?

Somme les durées espérées le long du chemin critique pour obtenir la durée espérée du projet, et somme les variances le long du même chemin pour obtenir la variance du projet. Calcule ensuite z comme la date cible moins la durée espérée, divisé par l'écart type, et lis la loi normale en z. Dans l'exemple ci-dessus, une cible de 10 jours sur une durée espérée de 9 avec un écart type de 0,82 donne environ 89 pour cent.

Quelles sont les principales limites de PERT?

Il somme la variance le long d'un seul chemin critique, si bien qu'un chemin quasi critique à forte variance est ignoré et la confiance systématiquement surestimée. Il suppose les durées indépendantes, ce que les retards corrélés du monde réel violent. Il repose en outre sur une approximation normale fragile lorsque le chemin critique compte peu d'activités. La simulation de Monte-Carlo répond aux trois points.